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El "cuerno del arcángel Gabriel" es este objeto geométrico con forma de vuvuzela, que tiene la propiedad de tener volumen finito, pero superficie infinita.

Es decir que podés llenarlo de pintura, pero no podés pintarlo.

Voy a hacer el intento de explicar esa cuenta sin usar explícitamente herramientas de análisis, no prometo éxito.

Supongamos que colocamos la vuvuzela frente a una pared, como se ve en el dibujo, y la cortamos en rodajas finas.

A medida que nos alejamos de la pared, las rodajas se van haciendo más pequeñas, dándole esa forma elegante de "cuerno".

Si la distancia a la pared es "x", y el radio de las rodajas es "r", tiene que haber alguna fórmula que relacione r con x, y que sea tal qué cuando x se hace más grande, r se hace más chico.

Además, tiene que cumplir que cuando x toma su mínimo valor posible (digamos "d", la distancia a la pared), es decir cuando estamos parados en la boca de la vuvuzela, r vale lo que sea que valga el radio de la boca (digamos "R").

Una fórmula que cumple esas propiedades es

r = Rd/x

Cuando x crece se cumple que r decrece, y cuando x vale d se cumple que r vale R.

Entonces tenemos que la vuvuzela es un conjunto de rodajas, el radio r de cada una de las cuales depende de la distancia x a la pared, segùn

r = Rd/x

Supongamos que cada rodaja tiene un cierto ancho "a".

Si calculamos entonces el volumen de cada rodaja y lo sumamos, tendremos el volumen de la vuvuzela.

Si hacemos lo mismo con el área de cada rodaja, obtendremos la superficie de nuestro cuerno.

Cada rodaja tiene forma de una rodaja de cono.

Es cierto que en realidad la pared lateral está ligeramente curvada, no es exactamente como un cono. Pero si la rodaja es lo bastante fina, esa curvarura no se nota.

La base de ese cono tiene un radio r que cumple con la fórmula que escribimos más arriba.

Si calculamos el volumen y la superficie de todas esas finas rodajas cónicas, y los sumamos, obtendremos el volumen total de la vuvuzela y su superficie total.

Podemos imaginar que la rodaja cónica entra perfectamente dentro de una rodaja cilíndrica.

Para que esto pase, el radio de la rodaja cilíndrica deberá ser igual al radio de la base de nuestra rodaja cónica.

Lo importante es que el volumen del cilindro es mayor que el de la rodaja cónica, mientras que la superficie del cilindro es menor que la de la rodaja.

Es decir que si sumamos ahora los volumenes de todos los cilindros en los que entran todas las rodajas, obtendremos un volumen mayor que el de la vuvuzela.

Si hacemos lo mismo con la superficie de todos los cilindros, obtedremos una superficie menor que la de nuestra corneta.

El volumen de una rodaja cilíndrica de ancho a es

π a r^2

Recordando que r obdece a una formula en fubcion de la distacia a la pared, nos queda

π a R^2 d^2 / x^2

Sumando ese volumen para todos los valores de x, obtendremos un numero que sera mayor que el volumen real de la vuvuzela.

Lo interesante es que esa suma se puede hacer, y da un valor finito, lo que implica que el volumen de la vuvuzela es finito.

Se puede llenar de pintura.

Por otro lado, la superficie de una rodaja cilíndrica de ancho a es

2π a r

Usando de nuevo la formula para r en funcion de la distancia a la pared, nos da

2π a Rd/x

Sumando esa superficie para todos los valores de x, obtendremos un numero que sera menor que la superficie real de la vuvuzela.

Pero resulta que esa suma da un valor infinito, lo que implica que la superficie de la vuvuzela también es infinita.

¡No se puede pintar!

Faltaría demostrar por qué en el caso del volumen la suma es finita, mientras que en el caso de la superficie la suma es infinita.

En este momento no se me ocurre cómo hacerlo sin utilizar herramientas de análisis matemático y sin complicar innecesariamente las fórmulas.

En cuanto piensa una manera adecuada de hacerlo, lo agrego al final del hilo.